Né le 16 mai 1990 à Reykjavik, capitale de l’Islande, Bjarki Mar Elisson fait ses premiers pas dans le handball professionnel à l’UMF Selfoss en 2008. Après une expérience de quatre ans au HK Kopavogur, il fait ses débuts internationaux en 2012 et découvre l’Allemagne un an plus tard, lors de sa signature au ThSV Eisenach, promu en Bundesliga.
Relégué en seconde division, il mène les siens vers une nouvelle promotion en terminant meilleur buteur avec 289 réalisations. Une performance qui lui permet de rejoindre le Füchse Berlin, avec qui il remporte l’IHF Super Globe face à Veszprém dès son arrivée. Un titre qu’il conservera l’année suivante en venant à bout du Paris Saint-Germain Handball en finale. Vainqueur de l’EHF European League en 2017, il consolide sa place de leader à son poste au sein de l’effectif jusqu’à son départ pour Lemgo deux ans plus tard, avec qui il termine meilleur buteur de Bundesliga dès sa première saison en inscrivant 216 buts.
Bjarki Elisson rejoint Veszprém en 2022, et y découvre la Ligue des Champions à 32 ans. Avec la formation hongroise, il décroche plusieurs titres nationaux durant quatre saisons, avant de relever un nouveau défi en s’engageant avec Paris à l’été 2026.
