C'est à Reykjavik, capitale de l'Islande, que tout commence pour Bjarki Mar Elisson. Après avoir découvert le handball dans plusieurs clubs de sa ville natale, c'est finalement à moins d'une centaine de kilomètres de là qu'il fait ses débuts dans le monde professionnel, en 2008, au Selfoss Handball. Au bout d'une saison, c'est au HK Kopavogur que Bjarki Elisson décide de véritablement lancer sa carrière. À 19 ans, il gagne en expérience et en maturité pendant quatre saisons avant de s'envoler pour le meilleur championnat du monde, la Bundesliga.
C'est le ThSV Eisenach qui décide de faire confiance au jeune Islandais. Tout juste promue dans l'élite du handball allemand, la formation basée dans le land de Thuringe vit toutefois une saison compliquée et retrouve immédiatement la deuxième division. Pas de quoi décourager Bjarki, qui s'impose comme le métronome de son équipe. Intraitable sur l'aile gauche, il termine meilleur buteur du championnat en trouvant le chemin des filets à 289 reprises pour aider les siens à rejoindre de nouveau la Bundesliga.
Si l'international islandais retrouve l'élite, ce n'est toutefois pas sous les couleurs bleu & blanc qu'il poursuit sa carrière. Après une campagne historique dans l'antichambre de l'élite, le Füchse Berlin parvient à l'attirer. Dès lors, c'est un changement de dimension pour le natif de Reykjavik. Récemment sacrés pour la première fois de leur histoire sur la scène continentale avec la Coupe de l'EHF, les Renards disputent ainsi l'IHF Super Globe 2015.
Malgré le statut de novice des Allemands, Bjarki Elisson écrit l'histoire de son nouveau club dès son arrivée en s'imposant face à Veszprém en finale (28-27 après prolongations), après avoir déjà réalisé un exploit face à Barcelone en demi-finale (26-25). L'Islandais et son club sont sur le toit du monde, et ils y resteront même l'année suivante. Un souvenir particulièrement amer pour tous les supporters parisiens, puisque c'est face au club de la capitale que Berlin conserve son titre au terme d'une rencontre haletante (29-28). Deux ans plus tard, c'est la Coupe de l'EHF qui venait garnir son palmarès après s'être imposé en finale face à Saint-Raphaël (28-25).
Après quatre saisons de bons et loyaux services, Elisson rejoint le TBV Lemgo en 2019. Au sein de la formation de Rhénanie-du-Nord-Westphalie, l'ailier gauche arrive en patron et devient immédiatement un véritable pilier de l'effectif. Dès sa première campagne, il impressionne en terminant meilleur buteur de Bundesliga après avoir inscrit 216 buts. Cette même saison, il aide le club à remporter la quatrième Coupe d'Allemagne de son histoire après avoir éliminé Kiel (29-28) puis Melsungen (28-24) lors du Final Four.
Lors de sa troisième et dernière saison du côté de la Lipperlandhalle, antre du TBV, il est le leader technique de l'effectif en EHF European League, terminant à la sixième place du classement des buteurs (98 réalisations) malgré une élimination précoce en huitièmes de finale face au Wisla Plock.
Cette neuvième saison en Bundesliga est sa dernière, puisque Veszprém s'attache les services de l'Islandais à compter de la saison 2022-2023. À 32 ans, Bjarki Elisson découvre donc l'EHF Champions League. Champion de Hongrie lors de ses quatre saisons passées au club, l'Islandais a découvert un tout autre niveau d'exigence, croisant notamment la route du Paris Saint-Germain à six reprises.
Au fil des années, son palmarès s'étoffe avec trois Coupes de Hongrie (2023, 2024, 2026), mais également une SEHA League, compétition continentale rassemblant des équipes d'Europe Centrale et de l'Est dont la dernière édition a pris place en 2022 et fut donc remportée par Veszprém face à Zagreb.
À 36 ans, Bjarki Elisson s'apprête donc à écrire une nouvelle page de sa carrière en découvrant un quatrième pays, après son Islande natale, l'Allemagne et la Hongrie, avec la même ambition qu'à ses débuts : remporter le plus de titres possible.
