C’est à Toulon qu’on avait découvert ce jeune défenseur, avec une participation à une demi-finale de Coupe de France face à Lyon (1-3, 21/04/1963). En 1964, Toulon est relégué et Vicot rejoint le Lavandou, au poste d’entraîneur-joueur. Il occupe le même poste à Châteauroux (1967-1969) puis il s’installe dans le sud de la France, lorsque Henri Patrelle, dirigeant du Paris Saint-Germain, lui propose en 1971 de venir entraîner l’équipe réserve du club.
En 1972, alors qu’il a fait ses preuves avec les Juniors qui ont atteint les demi-finales de la Coupe Gambardella, il devient tout naturellement l’entraîneur du Paris Saint-Germain après de la scission et fait monter le club en Division 2. Avant de former un redoutable tandem avec Justo Fontaine pour une saison 1973-1974 qui s’achève par l’accession en D1 après des barrages victorieux contre Valenciennes.
Robert Vicot poursuit sa mission aux côtés de Justo Fontaine jusqu’à son départ du club au début de la saison 1975-1976. Il refuse la proposition du Président Daniel Hechter, qui souhaite lui confier la mise en place du Centre de Formation et le poste d’entraîneur de l’équipe réserve, et devient l’entraîneur de Rouen (1975-1976), du Paris FC (1976-1979) puis prend en main la sélection du Gabon (novembre 1979-mai 1980).
Avant son retour en France, et un nouveau passage à Rouen qu’il fait monter en D1 en 1982. Il quitte le club normand quatre ans plus tard, entraîne Béziers puis devient superviseur pour Montpellier avant de se retirer du monde du football, à l’âge de 56 ans. Robert Vicot s’installe alors en Corse, à L’Île-Rousse, où il vient de décéder, à l’âge de 94 ans. Toutes les pensées du Paris Saint-Germain vont à sa famille et à ses proches.