Nascido em 16 de maio de 1990, em Reykjavik, capital da Islândia, Bjarki Mar Elisson deu seus primeiros passos no handebol profissional pelo UMF Selfoss em 2008. Após quatro anos no HK Kopavogur, estreou pela seleção em 2012 e chegou à Alemanha um ano depois, ao assinar com o ThSV Eisenach, recém-promovido à Bundesliga.
Rebaixado para a segunda divisão, liderou a equipe de volta à elite e terminou como artilheiro com 289 gols. A atuação lhe rendeu uma transferência para o Füchse Berlin, com o qual conquistou o IHF Super Globe contra o Veszprém logo em sua chegada. Repetiu o título no ano seguinte ao superar o Paris Saint-Germain Handball na final. Campeão da EHF European League em 2017, consolidou-se como referência em sua posição até se transferir para o Lemgo dois anos depois, onde terminou como artilheiro da Bundesliga em sua primeira temporada, com 216 gols.
Bjarki Elisson transferiu-se para o Veszprém em 2022 e estreou na EHF Champions League aos 32 anos. Pelo clube húngaro, conquistou vários títulos nacionais ao longo de quatro temporadas antes de aceitar um novo desafio e assinar com o Paris no verão europeu de 2026.
