Nacido el 16 de mayo de 1990 en Reikiavik, capital de Islandia, Bjarki Mar Elisson dio sus primeros pasos en el balonmano profesional con el UMF Selfoss en 2008. Tras cuatro años en el HK Kopavogur, debutó como internacional en 2012 y descubrió Alemania un año después al fichar por el ThSV Eisenach, recién ascendido a la Bundesliga.
Tras el descenso a segunda división, lideró al equipo hacia un nuevo ascenso y terminó como máximo goleador con 289 tantos. Esa actuación le permitió fichar por el Füchse Berlin, con el que conquistó el IHF Super Globe ante el Veszprém nada más llegar. Revalidó el título al año siguiente al derrotar al Paris Saint-Germain Handball en la final. Campeón de la EHF European League en 2017, consolidó su condición de referente en su posición hasta marcharse al Lemgo dos años después, donde terminó como máximo goleador de la Bundesliga en su primera temporada con 216 goles.
Bjarki Elisson fichó por el Veszprém en 2022 y debutó en la EHF Champions League a los 32 años. Con el conjunto húngaro conquistó varios títulos nacionales durante cuatro temporadas antes de afrontar un nuevo reto al incorporarse al Paris en el verano de 2026.
